Phép nhân và phép chia các đa thức trong chương trình lớp 8 là những kiến thức trọng điểm, chiếm 30 – 40% điểm số trong các bài thi, bài kiểm tra. Vì thế các em học sinh cần nắm chắc kiến thức về phép nhân và phép chia các đa thức được tổng hợp trong bài viết dưới đây:

Phép nhân đa thức

I. Nhân đơn thức với đa thức

1. Quy tắc nhận đơn thức với đa thức

Muốn nhận đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng tích với nhau.

Nếu kí hiệu các đơn thức bởi các chữ A, B, C, D, … thì có thể viết gọn quy tắc trên như sau A.(B + C) = A.B + A.C.

Ví dụ:

x.(2x² + 1) = x.2x² + x.1

                   = 2.x³ + x

Chú ý:

Phép nhân đơn thức mới đa thức tương tự như phép nhân của một số với một tổng và chú ý đến dấu của các đơn thức tham gia phép toán để tránh nhầm lẫn A.(B + C – D) = A.B + A.C – A.D.

3x²(2x² – x + 2) = 6x⁴ – 3x³ + 6x²

Một số công thức luỹ thừa thường gặp khi thực hiện phép toán

a⁰ = 1 với a ≠ 0

a^m.aⁿ = a^m+n

a^m : aⁿ = a^m-n với m ≥ n

(a^m)ⁿ = a^m.n

Với m, n là số tự nhiên.

2. Các dạng toán nhân đơn thức với đa thức

• Dạng 1: Thực hiện phép tính nhân đơn thức với đa thức

+ Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc nhân đơn thức mới đa thức và các phép toán liên quan để thực hiện phép tính.

Ví dụ:

Làm tính nhân: x²(5x³ – x –1/2 )

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, ta có:

x²(5x³ – x – ½) = x².5x³ – x².x – x². 1/2

• Dạng 2: Rút gọn biểu thức cho trước

+ Phương pháp giải

Thực hiện quy tắc nhận đơn thức với đa thức.

Cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng với nhau để có được dạng rút gọn của biểu thức.

Ví dụ:

Rút gọn biểu thức sau: A = 5x(3x² – 2x + 1) – x(15x² – 10x + 4)

Lời giải:

Ta có

A = 5x(3x² – 2x + 1) – x(15x² – 10x + 4)

   = 15x³ – 10x² + 5x – (15x³ – 10x² + 4x)

   = 15x³ – 10x² + 5x – 15x³ + 10x² – 4x

   = x.

• Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức cho trước

+ Phương pháp giải

Rút gọn biểu thức đã cho.

Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn để tính giá trị biểu thức.

Ví dụ:

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: A = x³(x² – y³) – y³(y² – x³) với x = 2; y = -2.

Lời giải:

Ta có

A = x³(x² – y³) – y³(y² – x³) = x⁵ – x³y³ – y⁵ + x³y³ = x⁵ – y⁵

Thay giá trị x = 2 và y = -2 vào A, ta được:

A = 2⁵ – (-2)⁵ = 64.

• Dạng 4: Tìm x biết x thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Phương pháp giải

Thực hiện phép nhân đơn thức mới đa thức, biến đổi và rút gọn đẳng thức

Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang bế trái, các hạng tử không chứa ẩm (hằng số) sang vế phải.

Từ đó tìm ra x.

Ví dụ:

Tìm x, biết (3x – 5)(5 – 3x) + 9(x + 1)² = 32.

Lời giải:

Rút gọn biểu thức vế trái, ta có:

(3x – 5)(5 – 3x) + 9(x + 1)²  = -(3x – 5)² + 9(x² + 2x + 1)

                                               = -(9x² – 30x + 25)x + 9x² + 18x + 9

                                               = 48x – 16.

Đẳng thức đã cho trở thành: 48x – 16 = 32 ⇔ 48x = 48 ⇔ x = 1.

Vậy x = 1.

• Dạng 5: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

+ Phương pháp giải

Rút gọn và biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu thức không còn chứa biến x (không phụ thuộc vào biến x).

Để kiểm tra kết quả tìm được ta thử thay một giá trị của biến (chẳng hạn x= 0) vào biểu thức rồi so sánh kết quả.

Ví dụ:

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức A = 3m( m² – 3m⁴) + (3m)²(m³ – 1)  + (-2m + 9)m² – 12 không phụ thuộc vào giá trị của m.

Lời giải:

Thực hiện phép nhân đa thức và rút gọn, ta được:

A = 3m( m² – 3m⁴) + (3m)²(m³ – 1)  + (-2m + 9)m² – 12

   = 2m³ – 9m⁵ + (9m⁵ – 9m²) + (-2m³ + 9m²) – 12

   = -12.

Giá trị của biểu thức trên luôn bằng -12 với mọi giá trị của biến m.

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến m.

II. Nhân đa thức với đa thức

1. Quy tắc nhân đa thức với đa thức:

Muốn nhân đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng tích với nhau.

Nếu kí hiệu các đơn thức bởi các chữ A,B,C,D,… thì có thể viết gọn quy tắc trên như sau: (A+B)(C+D) = A.C+ A.D+ B.C+ B.D.

Chú ý:

Phép nhân hai đa thức là tổng các kết quả nhân từng đơn thức của đa thức này với đa thức kia

(A + B)(C + D – E) = A.(C + D – E) + B.(C + D – E)

= A.C + A.D – A.E+ B.C + B.D – B.E.

Ví dụ:

(2x + 3)(x³ – 2x – 1) = 2x(x² – 2x – 1) + 3(x³ – 2x – 1)

                                   = 2x⁴ – 4x² – 2x + 3x³ – 6x – 3.

                                   = 2x⁴ + 3x³ – 4x² – 8x – 3.

2. Các dạng toán nhân đa thức với đa thức

• Dạng 1: Thực hiện phép tính nhân đa thức với đa thức

+ Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức và các phép toán liên quan để thực hiện phép tính.

Ví dụ:

Nhân đa thức sau: (x² – 1)(x² + 2x)

Lời giải:

Ta có (x² – 1)(x² + 2x) = x(x² + 2x) – 1(x² + 2x)

                                      = x⁴ + 2x³ – x² – 2x.

• Dạng 2: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

+ Phương pháp giải

Bước 1: Rút gọn và biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu không còn chứa biến x (không phụ thuộc vào biến x).

Bước 2: Để kiểm tra kết quả tìm được ta thử thay một giá trị của biến (chẳng hạn x = 0) vào biểu thức rồi so sánh kết quả.

Ví dụ:

Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: A = (3x + 7)(2x + 3) – (3x – 5)(2x + 11).

Lời giải:

A = (3x + 7)(2x + 3) – (3x – 5)(2x + 11)

   = (6x² + 23x + 21) – (6x² + 23x – 55)

  = 76.

Giá trị của biểu thức trên luôn bằng 76 với mọi giá trị của biến x.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho phông phụ thuộc vào giá trị của biến x.

• Dạng 3: Tìm x, biết x thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Phương pháp giải

Bước 1. Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức, biến đổi và rút gọn đẳng thức.

Bước 2. Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang vế trái, các hạng tử không chứa ẩn (hằng số) sang vế phải.

Bước 3. Từ đó tìm ra x.

Ví dụ:

Tìm x, biết: 3(1 – 4x)(x – 1) + 4(3x + 2)(x + 3) = 80.

Lời giải:

Rút gọn biểu thức vế trái, ta có:

3(1 – 4x)(x – 1) + 4(3x + 2)(x + 3) = 3(-4x² + 5x – 1) + 4(3x² + 11x + 6) = 59x + 21.

Đẳng thức đã cho trở thành: 59x + 21 = 80 ⇔ 59x = 59 ⇔ x = 1.

Vậy x = 1.

• Dạng 4: Chứng minh đẳng thức

+ Phương pháp giải

Để chứng minh một đẳng thức ta có thể áp dụng một trong các cách sau

Cách 1: Biến đổi kế trái (VT) bằng 0ế phải (VP) hoặc biến đổi VP bằng VT.

Cách 2: Biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức.

Cách 3: Chứng minh hiệu của VT và VP bằng 0.

Ví dụ:

Chứng minh: (x – 1)(x² + x + 1) = x³ – 1.

Lời giải:

Thực hiện phép nhân đa thức ở vế trái và rút gọn, ta có:

VT = (x – 1)(x² + x + 1) = x³  + x² + x – x² – x – 1 = x³ – 1 = VP.

• Dạng 5: Chứng minh các bài toán về số nguyên

+ Phương pháp giải

Thực hiện theo 4 bước:

Bước 1: Gọi số phải tìm và đặt điều kiện;

Bước 2: Biểu diễn các dữ kiện của đề bài theo số phải tìm;

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân đa thức mới đa thức để tìm ra đáp án của bài toán;

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ:

Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52.

Lời giải:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp lần lượt là x; x + 1; x + 2 (x ϵ N).

Tích hai số sau là: (x + 1)(x + 2). Tích hai số đầu là: x(x + 1)

Theo bài ra, ta có: (x + 1)(x + 2) – x(x + 1) = 52 ⇔ x = 25 (thoả mãn).

Vậy ba số cần tìm là: 25; 26; 27.

• Dạng 6: Đa thức đồng nhất bằng nhau

+ Phương pháp giải

Hai đa thức của cùng một biển số x gọi là đồng nhất bằng nhau nếu chúng luôn nhân cùng một giá trị đối với mỗi biến số x, kí hiệu là f(x) = g(x). Vậy f(x) = g(x), khi f(x) = g(x) với mọi x.

Hai đa thức đồng nhất thức bằng nhau nếu các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau và ngược lại.

Chẳng hạn cho f(x) = a₁x² + b₁x + c₁ và g(x) = a₂x² + b₂x + c.

Nếu f(x) = g(x) thì a₁ = a₂, b₁ = b₂, c₁ = c₂..

Một đa thức đồng nhất bằng 0 khi đa thức đó có các hệ số đều bằng 0 và ngược lại.

Ví dụ:

Xác định a, b, c, d thoả mãn một trong các đẳng thức sau với mọi giá trị của x:

(ax + b)(x² + cx + 1) = x³ – 3x + 2.

Lời giải:

Thực hiện phép nhân đa thức và rút gọn vế trái, ta được:

(ax + b)(x² + cx + 1) = ax³ + acx² + ax + bx² + bcx + b

                                   = ax³ + (ac + b)x² + (a + bc)x + b

Vậy ta có hai đa thức đồng nhất sau:

ax³ + (ac + b)x² + (a + bc)x + b = x³ – 3x + 2

Suy ra a = 1; ac + b = 0; a + bc = -3; b = 2 => a = 1; b = 2; c = -2.

Vậy a = 1; b = 2; c = -2.

Phép chia đa thức

I. Lý thuyết

Cho A và B là hai đa thức, B = 0. Ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B nếu tìm được một đa thức Q sao cho A = B.Q.

A được gọi là đa thức bị chia, B được gọi là đa thức chia, Q được gọi là đa thức thương.

1. Chia đơn thức cho đơn thức

Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp chia hết)

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta thực hiện theo các bước như sau:

– Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B;

– Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B;

– Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

2. Chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức (trường hợp chia hết)

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B rồi cộng các kết quả với nhau.

3. Một số kiến thức bổ sung

Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia.

Định lý Bê – du (Bài 4): Phép dư trong phép chia f(x) cho (x – a) đúng bằng f(a).

Hệ quả của định lý Bê – du

Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho (x – a).

Nếu đa thức f(x) nhận n số nguyên khác nhau a₁, a₂, a_n… làm nghiệm thì f(x) chia hết cho (x – a₁)(x – a₂)…(x – a_n).

II. Các dạng toán

• Dạng 1: Thực hiện phép chia đơn thức cho đơn thức

Phương pháp giải

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1. Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B;

Bước 2. Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B;

Bước 3. Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Chú ý: Với mọi x ≠ 0; m, n ϵ N, m ≥ n thì:

X^m : xⁿ = x^m-n nếu m > n

X^m : xⁿ  = 1 nếu m = n

Ví dụ:

Thực hiện phép tính: (3x)³ : 4x²

Lời giải:

(3x)³ : 4x² = 27x³ : 4x² = (27/4).x

• Dạng 2: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức

Phương pháp giải

Áp dụng một số công thức sau

x^m : x” = x^m-n nếu m > n . (-x) = x” nếu n chẳn.

x^m : x” = 1 nếu m = n.

(x^m)ⁿ = x^m.n

1ⁿ = 1; x⁰ = 1 (x ≠ 0)

 (-x)ⁿ = x” nếu n chẳn.

(-x)ⁿ = -x” nếu n lẻ.

(A + B) : C = (A : C) + (B : C).

Ví dụ:

Thực hiện phép tính: (4x⁷ – 3x³ – 4x²) + (7x²)

Lời giải:

Ta có:

(4x⁷ – 3x³ – 4x²) + (7x²) = 4x⁷ : (7x²) + (-3x²) : (7x²) + (-4x²) : (7x²) = (4/7)x⁵ – (3/7)x – .4/7

• Dạng 3: Tìm giá trị của biểu thức.

Phương pháp giải

Bước 1. Thực hiện phép chia và rút gọn biểu thức.

Bước 2. Thay giá trị của biến đã cho vào biểu thức rút gọn để tìm giá trị của biểu thức đã cho.

Ví dụ:

Tính giá trị của biểu thức: A = 15x⁵y³ : 10xy² tại x = -3 và y = 2/3.

Lời giải:

Ta có:

A = 15x⁵y³ : 10xy² = x⁴y.

Thay x = -3; y = 2/3 vào A, ta tìm được A = 81.

• Dạng 4: Tìm điều kiện để phép chia đa thức là phép chia hết

Phương pháp giải

Đối với phép chia đơn thức ta cần chú ý: Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A tới số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Đối với phép chia đa thức cho đơn thức ta đi tìm điều kiện để hạng tử có bậc thấp nhất trong đa thức chia hết cho đơn thức.

Ví dụ:

Tìm số tự nhiên n để phép chia sau là phép chia hết: x⁴ : xⁿ.

Lời giải:

Ta có phép chia x⁴ : xⁿ  là phép chia hết khi và chỉ khi số tự nhiên n thoả mãn n ≤ 4 ⇔ n ϵ {0; 1; 2; 3; 4}.

Bài tập về phép nhân, chia đa thức lớp 8

Dưới đây là một số bài tập về nhân, chia đa thức để các em luyện tập và thực hành:

Trên đây là toàn bộ kiến thức về phép nhân và phép chia các đa thức trong chương trình lớp 8. Để bổ sung và hoàn thiện tất cả các kiến thức môn Toán lớp 8, các em nên tham khảo 2 cuốn sách sau:

• Làm chủ kiến thức Toán lớp 8 – Phần Đại số
• Làm chủ kiến thức Toán lớp 8 – Phần Hình học

Inbox cho Mcbooks ngay để mua sách và nhận ưu đãi giảm giá lên tới 28%.

Mcbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh hàng đầu tại Việt Nam.

Mcbooks.vn